Les mathématiques sont une stigmatisation effrayante pour les élèves, même si plus vous explorez et pratiquez souvent les mathématiques, plus elles seront amusantes et agréables. Alors , maintenant, nous vous invitons à en savoir plus sur l'induction mathématique. Qu'est-ce que l'induction mathématique et à quoi sert-elle?
L'induction mathématique elle-même peut être interprétée comme une technique de preuve en mathématiques. Il est utilisé pour prouver des déclarations spéciales contenant des nombres naturels. La preuve utilisant cette méthode produit des conclusions générales.
Introduction à l'induction mathématique
En prouvant en utilisant l'induction mathématique, des conclusions générales sont obtenues. Il existe deux types de raisonnement utilisés pour obtenir des conclusions, à savoir le raisonnement déductif et le raisonnement inductif.
- Le raisonnement déductif est un raisonnement qui commence par des déclarations générales à des déclarations spécifiques. Cette approche est appelée approche «générale-spécifique» parce que le raisonnement part du général et se termine ensuite par des choses spécifiques. Exemple; toutes les pommes sont des fruits, tous les fruits poussent sur les arbres, donc toutes les pommes poussent sur les arbres.
- Le raisonnement inductif est un raisonnement qui part d'énoncés spécifiques à des énoncés généraux. Cette approche est appelée approche «générale spécifique» car les déclarations sont composées de points spécifiques pour arriver à des conclusions généralement acceptées. Exemple; Un passager de bus observe que chaque fois que le chauffeur de bus appuie sur les freins, tous les passagers du bus seront poussés vers l'avant.
(Lire aussi: Transformation en mathématiques, comme quoi?)
De plus, la méthode d'induction mathématique peut être utilisée pour prouver la véracité d'une hypothèse spéciale afin qu'elle soit généralement acceptée. Donc, cette méthode est utilisée dans la preuve dans le raisonnement inductif.
Application de l'induction mathématique
L'application de l'induction mathématique peut être trouvée dans diverses branches des mathématiques. Les hypothèses arrangées en mathématiques doivent être prouvées pour être généralement acceptées. Une hypothèse est généralement valide si elle est prouvée vraie pour toutes les valeurs numériques utilisées. Voici un exemple de déclaration qui peut être prouvée de cette façon.
Prouvez que la somme des séries de nombres impairs -n est n2. Où n est un nombre naturel.
Solution: P n = 1 + 3 + 5 + 7 +… .. + (2n - 1) = n2 s'applique à tout n € A
Le pas de base: pour n = 1, on obtient que P1 = 1 = 12 est correct.
Étape d'induction: supposons que pour n = k, P k soit vrai. On montrera que pour n = k + 1, P (k + 1) = (k + 1) 2 est vrai.
Faites attention aux étapes suivantes:
Pour n = k, alors P k = 1 + 3 + 5 + 7 +… + (2k - 1) = k2 est vrai.
En ajoutant [2 (k + 1) -1] aux deux côtés, alors
P (k + 1) = 1 + 2 + 3 +… (2k + 1) + [2 (k + 1) -1] = k2 + [2 (k + 1) - 1]
= k2 + 2k + 2 -
= k2 + 2k +
= (k + 1) 2 (prouvé)
Principes d'induction mathématique
Soit P (n) un énoncé contenant des nombres naturels. L'expression P (n) peut être prouvée vraie pour tous les nombres naturels n, en suivant les étapes d'induction mathématique.
Voici les étapes de la preuve en utilisant cette méthode:
- Prouvez que P (1) est vrai ou que P (n) est vrai pour n = 1.
- Si P (k) est vrai alors montrer que P (k + 1) est vrai pour chaque entier positif k.
Si les étapes (1) et (2) sont correctes, on peut conclure que P (n) est vrai pour chaque entier naturel n. L'étape 1 est appelée l'étape de base, tandis que l'étape 2 est appelée l'étape d'induction.
