En architecture, il existe des calculs mathématiques pour la construction de bâtiments, dont l'un est un système d'équations linéaires. Le système d'équations linéaires est utile pour déterminer les coordonnées des points d'intersection. Des coordonnées correctes sont essentielles pour produire un bâtiment qui correspond à l'esquisse. Dans cet article, nous discuterons d'un système d'équation linéaire à trois variables (SPLTV).
Un système d'équations linéaires à trois variables se compose de plusieurs équations linéaires à trois variables. La forme générale d'une équation linéaire à trois variables est la suivante.
ax + par + cz = d
a, b, c et d sont des nombres réels, mais a, b et c ne peuvent pas tous être 0. L'équation a de nombreuses solutions. Une solution peut être obtenue en assimilant n'importe quelle valeur aux deux variables pour déterminer la valeur de la troisième variable.
Une valeur (x, y, z) est l'ensemble des solutions pour un système à trois variables d'équations linéaires si la valeur (x, y, z) satisfait les trois équations de SPLTV. L'ensemble de décompte SPLTV peut être déterminé de deux manières, à savoir la méthode de substitution et la méthode d'élimination.
Méthode de substitution
La méthode de substitution est une méthode de résolution de systèmes d'équations linéaires en substituant la valeur d'une variable d'une équation à une autre. Cette méthode est appliquée jusqu'à ce que toutes les valeurs des variables soient obtenues dans un système d'équations linéaires à trois variables.
(Lire aussi: Système d'équation linéaire à deux variables)
La méthode de substitution est plus facile à utiliser sur SPLTV qui contient des équations avec un coefficient de 0 ou 1. Voici les étapes pour résoudre la méthode de substitution.
- Trouvez une équation qui a des formes simples. Les équations simplifiées ont un coefficient de 1 ou 0.
- Exprimez une variable sous la forme des deux autres variables. Par exemple, la variable x est exprimée en termes de y ou z.
- Remplacez les valeurs de variables obtenues à la deuxième étape par d'autres équations de SPLTV, de sorte qu'un système d'équations linéaires à deux variables (SPLDV) soit obtenu.
- Déterminez le règlement SPLDV obtenu à l'étape trois.
- Déterminez les valeurs de toutes les variables inconnues.
Faisons l'exemple de problème suivant. Trouvez l'ensemble de solutions pour le système d'équations linéaires à trois variables suivant.
x + y + z = -6… (1)
x - 2y + z = 3… (2)
-2x + y + z = 9… (3)
Premièrement, nous pouvons convertir l'équation (1) en, z = -x - y - 6 en équation (4). Ensuite, nous pouvons remplacer l'équation (4) par l'équation (2) comme suit.
x - 2y + z = 3
x - 2y + (-x - y - 6) = 3
x - 2y - x - y - 6 = 3
-3y = 9
y = -3
Après cela, nous pouvons remplacer l'équation (4) par l'équation (3) comme suit.
-2x + y + (-x - y - 6) = 9
-2x + y - x - y - 6 = 9
-3x = 15
x = -5
Nous avons les valeurs pour x = -5 et y = -3. Nous pouvons le brancher dans l'équation (4) pour obtenir la valeur z comme suit.
z = -x - y - 6
z = - (- 5) - (-3) - 6
z = 5 + 3 - 6
z = 2
Donc, nous avons l'ensemble des solutions (x, y, z) = (-5, -3, 2)
Méthode d'élimination
La méthode d'élimination est une méthode de résolution de systèmes d'équations linéaires en éliminant l'une des variables de deux équations. Cette méthode est appliquée jusqu'à ce qu'il ne reste qu'une seule variable.
La méthode d'élimination peut être utilisée dans tous les systèmes d'équations linéaires à trois variables. Mais cette méthode nécessite une étape longue car chaque étape ne peut éliminer qu'une seule variable. Un minimum de 3 méthodes d'élimination est nécessaire pour déterminer l'ensemble de règlement SPLTV. Cette méthode est plus facile lorsqu'elle est combinée avec la méthode de substitution.
Les étapes de réalisation à l'aide de la méthode d'élimination sont les suivantes.
- Observez les trois similitudes sur SPLTV. Si deux équations ont le même coefficient sur la même variable, soustrayez ou ajoutez les deux équations pour que la variable ait un coefficient de 0.
- Si aucune variable n'a le même coefficient, multipliez les deux équations par le nombre qui rend le coefficient d'une variable dans les deux équations le même. Soustrayez ou additionnez les deux équations pour que la variable ait un coefficient de 0.
- Répétez l'étape 2 pour les autres paires d'équations. La variable omise à cette étape doit être la même que la variable omise à l'étape 2.
- Après avoir obtenu deux nouvelles équations à l'étape précédente, déterminez l'ensemble de solutions pour les deux équations à l'aide de la méthode de résolution du système d'équations linéaires à deux variables (SPLDV).
- Remplacez la valeur des deux variables obtenues à l'étape 4 dans l'une des équations SPLTV de façon à obtenir la valeur de la troisième variable.
Nous essaierons d'utiliser la méthode d'élimination dans le problème suivant. Déterminez l'ensemble des solutions SPLTV!
2x + 3y - z = 20… (1)
3x + 2y + z = 20… (2)
X + 4y + 2z = 15… (3)
SPLTV peut déterminer l'ensemble des solutions en éliminant la variable z. Tout d'abord, additionnez les équations (1) et (2) pour obtenir:
2x + 3y - z = 20
3x + 2y + z = 20 +
5x + 5y = 40
x + y = 8 ... (4)
Ensuite, multipliez 2 dans l'équation (2) et multipliez 1 dans l'équation (1) pour obtenir:
3x + 2y + z = 20 | x2 6x + 4y + 2z = 40
x + 4y + 2z = 15 | x1 x + 4y + 2z = 15 -
5x = 25
x = 5
Après avoir connu la valeur de x, remplacez-la par l'équation (4) comme suit.
x + y = 8
5 + y = 8
y = 3
Remplacez les valeurs x et y dans l'équation (2) comme suit.
3x + 2y + z = 20
3 (5) + 2 (3) + z = 20
15 + 6 + z = 20
z = -
Pour que l'ensemble des solutions SPLTV (x, y, z) soit (5, 3, -1).
