La logique mathématique est une branche de la logique et des mathématiques qui contient des études mathématiques de la logique et l'application de cette étude à d'autres domaines en dehors des mathématiques. La logique mathématique est étroitement liée à l'informatique et à la logique philosophique, les thèmes principaux étant le pouvoir expressif de la logique formelle et le pouvoir déductif des systèmes formels de preuve. La logique mathématique est souvent divisée en branches de la théorie des ensembles, de la théorie des modèles, de la théorie de la récursivité, de la théorie de la preuve et des mathématiques constructives. Ces champs ont les mêmes résultats de logique de base.
Déclaration
En logique mathématique, nous allons apprendre à déterminer la valeur d'un énoncé. La déclaration elle-même est une phrase qui est certaine d'avoir une valeur vraie ou une certaine valeur qui est fausse, mais pas les deux.
Déclaration fermée et déclaration ouverte
Les déclarations sont ensuite divisées en deux types, les déclarations fermées (phrases fermées) et les déclarations ouvertes (phrases ouvertes) . Une déclaration fermée est une déclaration dont la valeur de vérité est certaine, tandis qu'une déclaration ouverte est une déclaration dont la valeur de vérité est incertaine.
Exemples d'énoncés:
- 9 est un nombre impair >> cette affirmation est vraie
- Jakarta est la capitale de l'Inde >> cette déclaration est fausse
En logique mathématique, les énoncés sont représentés par les lettres p, q ou r.
Les phrases ouvertes sont des phrases mathématiques qui n'ont pas de valeur de vérité. Cette phrase contient toujours des variables.
Exemples de phrases ouvertes:
- A est connue comme la ville de la pluie
- Atha ne va pas à l'école à cause d'une maladie
Contrairement aux phrases fermées où la valeur de vérité peut être déterminée, les phrases ouvertes sont toujours discutables, justes et fausses. Par conséquent, cette phrase ne peut pas être dite comme une déclaration.
Une phrase ouverte peut être transformée en instruction si les variables de la phrase sont remplacées par une valeur de sorte que la phrase ait une valeur de vérité.
Exemple:
Un connu comme la ville de la pluie est une phrase ouverte, alors que
Bogor est connue comme la ville de la pluie est une phrase de déclaration
Négation
Après avoir compris ce qu'est une déclaration et ce qu'est une phrase ouverte, l'étape suivante consiste à discuter de la négation.
La négation ou aussi appelée déni / déni est une déclaration qui nie ce qui est donné. Une mémoire de déclaration peut être formée en ajoutant «Il n'est pas vrai que ...» devant la déclaration qui est refusée. Ceci est indiqué par ~.
Disons que p est vrai, alors ~ p est faux. Vice versa, si p est faux, alors ~ p est vrai.
Exemple de négation de la déclaration:
- Jakarta est la capitale de la Malaisie
Jakarta n'est pas la capitale de la Malaisie
- 9 est un nombre impair
9 n'est pas un nombre impair
Déclarations composées
Ensuite, l'instruction est décomposée en instructions composées, qui dans ce cas sont divisées en plusieurs types:
- Conjonction
- Disjonction
- Implications
- Biimplication
1. Congjonctions
La conjonction , qui est désignée par (Ʌ) est une déclaration composée avec la conjonction "et". Ce sera vrai si les variables sont vraies et fausse si l'une des variables est fausse.
Exemple:
p: Jakarta est la capitale du monde (déclaration avec une vraie valeur)
q: Jakarta est une ville métropolitaine (déclaration avec une valeur vraie)
p ^ q: Jakarta est la capitale du monde et une ville métropolitaine (déclaration avec de vraies valeurs)
2. Disjonction
La disjonction , qui est désignée par (V) est une instruction composée qui est formée en combinant deux instructions simples en utilisant la conjonction "ou". Une disjonction est vraie si l'une des déclarations est vraie et fausse si les deux déclarations sont fausses.
Exemple:
p: Jakarta est la capitale du monde (déclaration avec une vraie valeur)
q: Jakarta est une ville d'étudiants (déclaration avec une fausse valeur)
pVq: Jakarta est la capitale du monde ou ville étudiante (déclaration avec une vraie valeur)
3. Implications
L'implication est deux questions p et q qui sont énoncées sous la forme de la phrase "si p alors q". Ceci est noté p -> q.
Exemple:
p: Atha est diligent dans l'étude (déclaration avec une vraie valeur)
q: Atha a réussi avec un score brillant (déclaration de valeur vraie)
p-> q: Si Atha est diligent dans ses études, alors Atha passera avec un score brillant (la déclaration est vraie)
4. Biimplications
La biimplication est une déclaration composée exprimée sous la forme de la phrase "... si et seulement si". Ceci est noté pq, lisez "p si et seulement si q".
Exemple:
p: 1 + 1 = 2 (la déclaration est vraie)
q: 2 est un nombre impair (fausse déclaration)
pq: 1 + 1 = 2 si et seulement si 2 est un nombre impair (déclaration de fausse valeur)
